Markov et Bienaymé-Tchebychev

Soit \(X\)  une variable aléatoire à valeurs positives. On note \(X\left(\Omega\right)=\left\{ x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}\)  l'ensemble des valeurs prises par \(X\) .

1. Soit \(a\)  un réel strictement positif.
    a. Démontrer l'inégalité suivante.  \(aP\left(X\geqslant a\right)\leqslant\displaystyle \sum _{\,x_{k}\geqslant a}x_{k}P\left(X=x_{k}\right)\) .
    b. En déduire l'inégalité de Markov : \(P\left(X\geqslant a\right)\leqslant\dfrac{E\left(X\right)}{a}\) .

2. En appliquant l'inégalité de Markov à la variable aléatoire \(\left(X-E(X)\right)^{2}\) , démontrer alors l'inégalité de Bienaym é-Tc hebychev : pour tout \(\varepsilon>0\) , \(P\left(\left|X-E(X)\right|\geqslant\varepsilon\right)\leqslant\dfrac{V\left(X\right)}{\varepsilon^{2}}\) .